数值分析技术及其在注塑模中的应用研究系统的数学模型，采用混合有限元法、有限差分法求解压力和能量方程，从而实现了成型过程数值分析。

在塑料制品生产中，塑料、模具和加工设备三者密切相关。塑料加工不单纯是物理成型过程，而是控制制品的结构和性能的中心环节。近几年来，发展最快的是利用计算机辅助工程对加工过程进行数值模拟，研究加工条件的变化规律，预测制品的结构和性能，选择制品和模具设计以及工艺条件的最佳方案，使加工成型从一项实用技术变为一门应用科学。如果对塑料在加工过程中的流动、传热，以及在力场和热场的作用下所出现的物理变化、化学变化没有深入的科学认识，就不能生产出质地优良的制品。因此，各国对塑料的成型加工的基础研究都非常重视。注射模数值分析技术是利用计算机对塑料注射成型过程各阶段进行定性与定量描述，从而在模具制造前发现并改正设计弊端。目前注塑模数值分析技术的研究工作主要集中在流动模拟、冷却模拟等方面。流动充填模拟分析一般包括浇道系统分析和型腔充填分析。浇道系统分析的目的是确定合理的流道尺寸、布置以及最佳的浇口数量、位置和形状;型腔充填分析的主要目的是为了得到合理的型腔形状及最佳的注塑压力、注射速率等参数。塑胶熔体在注塑模型腔中的流动行为直接影响着塑件的性能和质量，而塑料熔体的流动行为又取决于型腔和浇注系统的设计及注塑工艺参数的选择，为保证模具和由模具生产的塑件的质量，必须对流动过程进行分析预测。

成型过程数学模型：假设与简化塑料熔体充填过程可以认为是粘性不可压缩非等温流动与传热过程，它总是伴随着与内摩擦与传热有关的能量耗散过程，可以采用粘性不可压缩流体的基本方程来描述它。鉴于大多数注塑制件都是薄壁件，故可以认为熔体是在扁平型腔内流动的，可以通过采用适当的边界条件求解上述方程组来得到粘性流体在流动和传热过程中的物理场分布，但实际上则往往是很困难的，必须针对具体问题进行适当的简化。下面针对充模流动特点给出相应的假设和简化。

由于型腔厚度(z方向)远小于其它两个方面(x，y方向)的尺寸，且熔体的粘度较大，因此可以忽略z方面的速度分量(w= 0)，且认为压力P是x、y的函数，沿厚度方向不变，即在充填流动过程中，型腔内压力不是很高，且合适的浇口数量和布置可避免局部过压现象，可认为熔体是不可压缩的，即V.=0.由于熔体粘度较大，相对于粘性剪切力而言，惯性力和质量力都很小，可以忽略不计。

在熔体流动方向(xy方向)上，相对于热对流项而言，热传导项很小，可以忽略不计。

在充填过程中，熔体温度变化范围不大，可以认为熔体的比热容及导热系数为常数。

忽加熔体前沿附近喷泉式流动的影响。

三维薄壁型腔充填过程分析的控制方程连续性方程(hu)2)=0(3)能量守恒方程3T3T石+v3T3T2(4)其中b为型腔半厚;为密度。式(一8)也是温度求解的控制方程。

通过对上面公式积分，并代入边界条件后得出流通率以上假设用于粘性流体力学的基本方程可导出塑料熔体充模流动的控制方程：压力场控制方程最后得出沿边界C流入某控制体积和体积流率为式(一4)和(一7)构成求解三维薄壁制体充填流动的控制方程。浇注系统充填过程控制方程连续性方程能量守恒方程本构方程r=其中p为密度;为比热;t为温度场;为压力场;Vz为轴向流速;为热传导率;n为粘度。边界条件1在平面上柱1：轴线上塑料熔体充模流动的控制方程具有如下边界条件。在熔体接触的型腔边界上，其中Q是沿整个厚度的流率。

最后，对于两股塑料溶体在型腔相遇时将形成熔接线，相应的边界条件应该是压力和法向速度在熔接线保持连续浇注系统充填过程控制方程具有如下边界条件：成型过程数值计算方法对注射成型充模过程的数学描述可归结为一组偏微分方程及相应的定解条件。迄今为止，流动模拟中常用的数值方法可分为两类：一类是区域型数值方法，主要包括有限差分法和有限元/有限差分法混合法;另一类是边界型数值方法，主要是边界元法。有限闭差分法和流动模拟中最早采用的方法，该方法比较简单，对求解一维问题非常有效，但对于复杂边界的适应性较差，因而难以应用于三维流动模拟问题。有限元/有限差的分混合法的基本思想是：在流动平面内各待求量(P、T等)用数值法近似。而各待求量(T、u、v等)在型腔厚度分法各自的优点，对复杂边界的适应性强，成为流动模拟主要的数值计算方法。

这种方法的基本思想是采用三角形单元定义控制体积，利用控制体积法建立压力场求解的有限元方程，通过对时间和沿厚度方向进行差分，建立温度场求解的能量方程，并根据控制体积单元的充模状况确定流动前沿位置。

几何离散在采用有限元法、有限差分法进行注塑模流动分析时，应该将计算区域划分成相应的离散的单元。

对于模具型腔，将利用中面模型将整个型腔离散成线性三角形单元，并沿厚度方向进行差分网格划分。

线性三角形单元具有以下几个优点：对复杂型腔的逼近程度更好;更易实现对复杂区域的网格划分;可采用坐标面积进行计算，从而避免了等参转换。

在把整个计算区域划分三角形和管道网格后，引入控制体积的概念，对于每一个三角形单元通过连接形心和边界中点而将单元划分成三个子面积，管道元沿中分成2个子长度。相应于每一个节点N的控制体积是由与此结点相连的所有子体积构成的，它是一个多边形区域多边形的控制体积表现出以下主要特征：相互不重叠;布满整个区域三角形单元和控制体积错落分布保证了计算精度。

单元及插值函数：―维线性管单元一维线性管单元可以简单地用一圆柱表示，它具有两个顶点节点。在不考虑单元内场函数X的导数时，一维线性管单元的场函数X可以插值表示为其中Ni、N2的插值函数。二维三角形线性单元两个顶点的直线方程左部的线性函数来构成。例如对节点/，可用边的方程来构成它的插值函数，即N1其它两个顶点雷同，即其中即线性三角形单元的三个插值函数就是三角形单元的三个面积坐标。

压力场下面描述压力场求解的数值的方法，当温度场和熔体区域的任意充填时刻给定时，可以利用压力边界条件求解压力控制方程，而得到压力场的分布。在具体计算时，可以采用线性三节点三角形单元来分别描述型腔表面和浇道，单元内的压力分布可采用线性插值表示。对于三角形单元1其中Pl(l)分别为三角形单元1的节点压力和面积坐标插值函数。

在压力场有限元方程的建立过程中，我们将有限元法和控制体积概念结合起来。在假设熔体不可压缩的条件下，通过对每一个控制体积的质时守恒来建立有限元方程。一个控制体积的质量守恒，可由各个相近单元流过控制体积边界的质量流率相加得到总质量流率计算得到。注入控制体积的质量可由其边界上的积分得到。

最后得到流入节点N的净流率为上述方程是线性的，可以采用松弛法求解差分方程，从而获得温度场。采用松弛法求解解因为松弛法求解过程所需的存储量是0阶，而直接迭代所需的存储量是0(2)阶，其中n是节点个数。对于大型制件和采用固定网格数值积分方法时，松弛迭代是比较适宜的。

熔体的前锋位置的确定模具充填过程是一个瞬态过程，熔体前沿随时间向前推进，上面给出的控制方程都是针对于熔体区域的，因此需要确定任意时刻熔体的自由界面。对每一个控制体积引入参数f别表示控制体积的体积和该控制体积已被熔体充填的体积，它反映了每一个控制体积的充满程度。可以根据控制体积的充填将节点分为4类：(1)入口点(/=1)：熔体由此进入型腔;(2)内点(/= 1)：与其相应的控制体积被完全充填;(3)前沿点((K/< 1)与其相应的控制体积比部分充填;(4)空点(/=0)：熔体还未到达到控制积节点。

对于任意时刻，前沿点满足0压力边界条件式(2―10)，而所有的内点也满足各自方程。由方程和压力边界条件可以计算出充填区域节点压力和流入前沿点的净流率，前沿点充填百分比/可根据每个节点的净流率和时间步入得到更新。时间步长的选择，应保证在每一时间步长刚好有一个控制体积被充满。而与其相连的所有空节点将成立新的前沿节点。因而假设充填开始时，入口节点完全充满，且假定温度均匀，等于熔体充填温度，使每个时间步长刚好有一个控制体积被充满，并计算每一部时间步长的温度场和压力场，推进熔体前沿直到型腔被充满。当计算出给定时刻的压力场，流入每个控制体积的流率可以通过控制体积的边界积分得到，按照时间步长的的质量守恒可以修改每一个控制体积的充填百分比(/)，相应的材料性能也得到改变。控制体积法采和线性三角形单元，对于流动前沿的某些非连续效应不需要做特殊处理，数值试验证明了熔体前沿的运动对网格密度的敏感程度不大，适度的单元数和节点数就可以模拟复杂的三维制件，尽管如此，均匀地等边三角形分布可以比较好地预测熔体前沿分布。

结论根据所建立的数学模型和相应的求解方法，利用VC+ +6.0编制了数值分析程序。充分利用VC+ +的显著特点，在数据结构中以二叉树理论及稀疏矩阵的压缩存储方法实现网络结构的自动生成及动态模拟计算，具体方法在另篇文章中详细介绍。通过数值分析结果和实验结果的比较，表明了数学模型及求解过程的正确性和系统的可靠性。

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